Моделирование случайных величин по заданным законам распределения
Случайные величины характеризуются различными законами распределения. Для одного из них, равномерного, выше были рассмотрены способы генерации случайных чисел. Генерация случайных чисел, подчиняющихся другим законам, основана на базовой модели генерации в ЭВМ равномерно распределенных случайных чисел и последующего преобразования этих чисел. Известны несколько методов преобразования. Ниже рассмотрен один из наиболее распространенных методов преобразования — метод обратной функции.
Как известно, случайная величина Х описывается интегральной F(x) и дифференциальной f(x) функциями распределения. Зная одну из этих функций, можно предсказать поведение случайной величины во времени. Обе функции связаны между собой
Интегральная функция представляет собой вероятность того, что какое-то взятое фиксированное значение Х будет меньше текущего значения x F(x)= Р (Х<х) (рис. 2.4). Очевидно, что с повышением текущего значения Х эта вероятность будет стремиться к 1. Функция F(х) является монотонно возрастающей функцией. Всегда при x2 > x1 F(x2) > F(x1).
Соответственно, при
P[F(x1) < F(x2)] = Р(х1 < х2),
Примем, что случайная величина r = F(x).
Найдем распределение этой величины Fr (r).
На основании приведенных выражений
Fr (r) = P(R < r) = P[F(X) < F(x)] = F (X < х) = F(x) = r
R = Fr (r)-F (x). (2.1)
Согласно выражению (2.1), вероятность попадания случайной величины в интервал 0 – r равна длине этого интервала, и это есть признак того, что данное распределение равномерное.
В результате получаем алгоритм формирования непрерывной случайной величины Х по заданному закону распределения. Поскольку ri = F ( xi ), то необходимо выполнить преобразование
Xi = F-1 ( ri ), (2.2)
где ri — равномерно распределенное случайное число;
F-1
— функция, обратная по отношению к распределению случайной величины X.
На основании выражения (2.2) можно моделировать случайные числа с заданным законом распределения.
