Моделирование случайной величины, распределенной по показательному закону
Показательным законом описываются многие физические процессы: случайное время безотказной работы электронных и ряд других изделий, случайные моменты времени поступления заказов на предприятия, службы быта, вывозов на телефонные станции, поступления судов в отдельные порты, времена поиска неисправностей в аппаратуре и т.д.
Дифференциальная и интегральная функции распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, определяются выражениями (рис. 2.5):
f(x) = ?e –?x,
F(x) = 1 – e -?x (x>0),
где ? — постоянная величина, параметр показательного распределения.
В соответствии с выражением (2.2) имеем ri = 1 – e -?xi. Разрешив его относительно xi, получим xi = -(1/ ?)ln(1-ri).
Поскольку случайное число ri равномерно распределено в интервале 0-1, то величины 1-ri
, ri распределены одинаково. Поэтому для моделирования случайной величины, распределенной по показательному закону, используется выражение
xi = -(1/ ?)lnri. (2.3)
Дифференциальная и интегральная функции распределения этого закона выражаются следующим образом (рис. 2.6):
f(x) = l(1— lx/2),
F(x) = lx — l2 x2/4, (0<x<2/ l).
В соответствии с выражением (2.2) получаем обратное преобразование функции F (х)
xi = (2/ l)(1 —
Равномерное распределение для интервала (а, b) определяется выражениями (рис. 2.7):
f(х) = 1/(b-a),
f(x)=(x-a)/(b-a) а<х
£ b.
На основании (2.2) имеем
xi=а+(b-а)ri. (2.5)
Наряду с показательным распределением, распределение Вейбулла имеет место при оценках модельности изделий. Этому распределению подчиняется случайное время работы изделия до отказа, возникающего вследствие износа и старения.
Дифференциальная и интегральная функции этого распределения имеют вид (рис. 2.8)
f(x) = ?0ax a-1
F(x) = 1 —
где ?0
, a0 - параметры закона распределения,
?x
= ?0axa-1— интенсивность отказов.
С учетом выражения (2.2) формула для расчета случайной величины xi, подчинявшейся распределению Вейбулла, имеет вид
Нормальный закон используется буквально во всех областях, где оперируют со случайными величинами. Этот закон является предельным, к которому приближаются другие законы распределения, описывающие
различные процессы.
Функции распределения этого закона имеют вид (рис. 2. 9)
Непосредственное использование выражения F (x) для расчета случайной величины, распределенной по нормальному закону, требует сравнительно больших затрат машинного времени, так как связано с численным решением не поддающегося аналитическому расчету интеграла. Имеются табулированные значения интеграла для нормированной величины S = (x — mх / ?х ), по которым, записав таблицу в память ЭВМ, можно находить по выражению (2. 2) случайные величины, распределенные по нормальному закону.
На практике для данного закона нашел применение другой метод, основанный на центральной предельной теореме вероятностей. Почтой теореме в результате суммирования определенного числа независимых случайных величин, сравнимых по первым двум моментам распределения получается случайная величина, приближенно распределенная по нормальному закону.
Принятый алгоритм получения нормально распределенной величины Х заключается в следующих операциях:
1. Производится розыгрыш N случайных равномерно распределенных величин ri (обычно N >= 12 ).
2. Находится сумма N величин
и среднеквадратичное отклонение
3. Производится нормирование величины SH = (S-m)/s = S— 0,5N.
4. Находится значение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, исходя из обратной нормированной величины формулы
X = sxS + m или
Блок-схема алгоритма моделирования нормально распределенной случайной величины приведена на рис. 2.10.
