Моделирование потока Эрланга
Поток Эрланга получается путем "просеивания" пуассоновского потока. Если взять пуассоновский поток и выбросить из него каждую вторую точку (рис. 2.12,а), то оставшиеся точки образуют поток Эрланга первого порядка. При выбрасывании подряд двух точек получается поток Эрланга второго порядка (рис. 2.12, б) и т.д. Поток Пуассона можно рассматривать как поток Эрланга нулевого порядка. Из рассмотренных трех свойств простейшего (пуассоновского) потока для потока Эрланга остаются свойства
ординарности и стационарности, но не выполняется свойствo -
отсутствие последствия, так как интервалы TI, T2 (рис. 2.12) уже не описываются показательным распределением.
Для потока Эрланга К порядка расстояние между двумя смежными событиями
где Тi — интервал между событиями пуассоновского потока с плотностью распределения f(t) = le- lt, (t > 0).
Для получения плотности распределения потока Эрланга (Эк) К порядка fk (t) можно исходить из того факта, что интервал Т для потока Эк с вероятностью fk (t)dt примет значение между t и dt (рис. 2.12, б). По отношению к пуассоновскому потоку это равносильно попаданию К его точек внутри участка ( 0, t ), а последней точки — на участок (t, t + dt ). Вероятности этих событий соответственно равны
Отсюда
Очевидно, при К = 0
f0(t)= le- lt,
что идентично показательному закону.
Математическое ожидание и дисперсия потока Эрланга имеют вид:
С учетом
По теореме сложения дисперсий
Плотность потока Эрланга
Таким образом, при увеличении порядка потока Эрланга увеличиваются как математическое ожидание, так и дисперсия, а плотность потока падает.
Интересно свойство потока Эрланга при К> ?
и сохранении его плотности (или математического ожидания). Для этого рассмотрим нормированный поток Эрланга, когда mk = const.
Изменяя масштаб времени, получим
Соответственно,
Математическое ожидание величины
Дисперсия величины
Из (2.18) следует, что дисперсия неограниченно убывает с возрастанием К.
Отсюда следует важный для практических приложений вывод: при неограниченном увеличении К нормированный поток Эрланга приближается к регулярному потоку с постоянными интервалами.
Таким образом, задаваясь различными значениями К, можно получить поток событий с любой степенью последействия, начиная от полного отсутствия (К = 0) до жесткой связи между моментами появления событий (К = ?).
Наиболее естественным и простым вариантом моделирования
потока Эрланга является использование его физической сути, а именно, период потока Эрланга Т является суммой К периодов пуассоновского потока. В таком алгоритме необходимо реализовать моделирование случайных величин появления потоков событий для пуассоновского потока.. Затем К таких величин складываются, в результате чего образуется случайная величина Т, характеризующая время между моментами появления смежных событий для потока Эрланга К порядка. Блок-схема алгоритма для этого варианта приведена на рис. 2.13.
